El Anillo y la banda elástica

Rafael Gutiérrez Hernández.

Tarea grupal nº 2 para Matemática aplicadas a las Ciencias Sociales 1 y Filosofía y ciudadanía 1. de bachillerato.

Profesores: Luz González Domínguez-Adame y Andrés Girón Borrero.

EL ANILLO Y LA BANDA ELASTICA.

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      Imagina que tienes un anillo que entra justo en tu dedo, al que cortas y agregas un metro de material. Es fácil imaginar que si vuelves a ponerlo en tu mano, el anillo te quedará muy grande, ya que su nuevo diámetro es a todas luces mucho mayor. Ahora, imagina una [b] banda elástica [/b] que se ajuste perfectamente a la tierra, rodeándola por el ecuador, a la que estiras su perímetro un metro. La banda ahora será ligeramente más grande que la original, pero, ¿cuanto se separa de la superficie del planeta?

      La respuesta, como siempre, desafía el sentido común.

      El planteo del problema es el siguiente: Imaginemos que una esfera del tamaño del planeta tierra está rodeada por una banda elástica que la ajusta perfectamente por su ecuador. Dicha banda mide aproximadamente 40.000.000 de metros de largo. Si la banda se estira un metro, hasta medir 40.000.001 metros de largo, ¿Cuánto se separa de la superficie de la esfera? ¿Podríamos deslizar entre la banda y la esfera una hoja de papel, una moneda o una pelota de tenis?

      Antes de comenzar a efectuar cálculos e intentar determinar de cuanto es la separación de la banda, usemos el sentido común para resolver una situación similar, pero a una escala mucho menor. Imaginemos, como decíamos al principio, que tenemos un anillo que se ajusta perfectamente a uno de nuestros dedos. Supongamos que el radio de nuestro dedo es de 1 centímetro, y la circunferencia del anillo es de aproximadamente 6,28 centímetros (2xPIxradio). Si a dicho anillo le hiciésemos un corte y agregásemos un metro de material, al armarlo nuevamente veríamos que su circunferencia ahora es mucho mayor, y se ha convertido prácticamente en un aro de hula-hula, por el que, si no estamos tan pesados como Max, pasa nuestro cuerpo entero. Al ponerlo nuevamente en un dedo, veríamos que hay una separación entre éste y el nuevo anillo de unos 16 centímetros.

      El experimento anterior parece tener bastante sentido. Al fin y al cabo, hemos convertido un anillo con un perímetro de 6.28 centímetros en uno de más de 106 centímetros, por lo que no nos asombra que se haya separado tanto de nuestro dedo. La distancia que lo separa del centro del dedo puede calcularse: R=circunferencia/2/PI, y nos da unos 16 centímetros. Este es uno de esos casos tan tranquilizantes, en el que el sentido común y la realidad van de la mano. Ahora, veamos que pasa con el anillo elástico.

      El anillo que rodea la esfera tiene una longitud (o perímetro) de 40 millones de metros. Su radio, de acuerdo a la fórmula anterior, será de: 40.000.000/2/PI=6.366.197,83 metros, unos 6.366 kilómetros. El sentido común nos dice, más bien nos grita, que si a semejante perímetro lo estiramos el mimo metro que agregamos al anillo del otro ejemplo, la distancia que lo separará de la enorme esfera será imperceptible. Posiblemente, la razón de ello sea que el porcentaje de incremento en el primer caso es cercano al 1600%, mientras que en este caso es algo así como el 0,0000000025%. Con un incremento tan pequeño, difícilmente podamos deslizar una hoja de papel entre la esfera y la banda elástica. ¿O no? El resultado es independiente del radio de la esfera o del dedo. ¿Qué os parece?

      Pero estamos nuevamente frente a uno de esos casos en el que el sentido común nos juega una mala pasada. Hagamos cuentas; el radio del círculo que forma la banda elástica estirada puede calcularse haciendo R=40.000.001/2/PI=6.336.197,99 metros. El resultado se parece mucho al del radio de la banda sin estirar (6.336.197,83), pero si miramos bien, vemos que ese metro que hemos agregado basta para separar la banda de las esfera en 6.336.197,83-6.366.197,99=0,16 metros. ¡Los mismo 16 centímetros que en el caso del dedo y el anillo¡El sentido común acaba de sucumbir otra vez frente a la realidad.

      Como puede verse, el resultado es independiente del radio de la esfera o del dedo. Solo depende del pedazo que agregamos y del valor de PI. Como hemos agregado un metro al anillo y estirado en un metro a la banda elástica, ambos se separan de la superficie original en los mismos 16 centímetros. Volviendo a la pregunta original, podríamos deslizar sin problemas una pelota de tenis entre la banda estirada y la esfera. Hemos sacado las cuentas utilizando nada más que un par de decimales, pero eso no cambia el resultado demasiado. El valor real ronda los 15,91554943…centímetros. Independiente de la cantidad de decimales que tengas en cuenta, el resultado será el mismo en ambos casos. ¿Qué os parece?