Paradoja de Galileo

 Santiago Almeida Hernández

Materias: Matemáticas y Filosofía.

Profesores: Luz González y Miguel Domínguez.

Dirección web: http://es.wikipedia.org/wiki/Paradoja_de_Galileo

Nombre: Paradoja de Galileo.

Argumento: “A pesar de que todos los números son números cuadrados, no hay más números que números cuadrados”.

Paradoja de Galileo consiste en una demostración de una de las características que sorprenden a los conjuntos infinitos. En su trabajo científico final, Dos nuevas ciencias, Galileo dijo dos declaraciones contradictorias sobre los números enteros positivos. En primer lugar, dijo que algunos números son cuadrados perfectos (es decir, el cuadrado de un cierto número entero, es llamado cuadrado), mientras que no son otros; por lo tanto, todos los números, incluyendo cuadrados y no-cuadrados, deben de ser más numerosos que el conjunto de los cuadrados.

Contradicción: Pero en cada cuadrado hay exactamente un número que es su raíz cuadrada, y para cada número hay un cuadrado; por lo tanto, no puede haber más de uno que del otro.

Solución: Una solución bastante más simple que no implica la violación del axioma de Euclides ni produce contradicciones. Basta considerar que ambos conjuntos son infinitos potenciales en lugar de infinitos actuales. Desde el punto de vista del infinito potencial no existe la totalidad completa de los números naturales ni la de sus cuadrados. Desde esa perspectiva solo existen totalidades infinitas, tan grandes como se quiera, pero siempre infinitas. Es claro que en esas condiciones basta con elegir cualquier totalidad infinita de números naturales y emparejar sus miembros con los de otra totalidad infinita de cuadrados, ambas con el mismo número de elementos. Como el emparejamiento es ahora entre partes y no entre totalidades completas, no se produce ninguna contradicción.

Valoración: para mí la reflexión de Galileo en aquella época fue importantísima para llegar a lo que son los números infinitos actuales. Su razonamiento es para mí demasiado avanzado para la época que vivía, por lo tanto el nombre de Galileo debe de ser importantisimo en el mundo de la matemáticas y el razonamiento.